一道有悖直觉的概率题

Crossin先生 Crossin的编程教室 2019-08-27

我是一个概率控,平常遇到和概率相关的事情都喜欢去推算一下,喜欢看概率有关的影视作品(决胜21点、欺诈游戏、赌博默示录……),就连在汤姆熊或是巴黎人,我也会估下哪一个机器输的可能性更小一点(赢是不可能赢的啦)。


所以,碰到概率相关的问题,我通常都不会轻易放过。之前公众号里讲过的概率问题就有好几个:


最近,又看到一个有意思的概率题,今天给大家分享并分析一把:

甲乙二人玩掷硬币的游戏。两人连续抛掷硬币,如果最近三次硬币抛掷结果是“正反反”,则甲胜;如果是“反反正”,则乙胜。问:谁胜的概率更高?

各位先想一下,结果是什么?


单纯看扔3次硬币的结果,“正反反”和“反反正”出现的概率都是 1/8(1/2的3次方)。那么,是不是就代表两人胜的概率是一样的呢?


以前中学时代跟同学讨论概率,如果双方有分歧,就很难说服对方。即使有了一个结论,也无法确认到底是否正确。毕竟大多数时候,你不可能亲自去实验足够多的次数。


但有了计算机和编程之后,情况就好多了。只要你的代码没有问题,通常可以模拟出实验场景,得到一个参考结果来佐证。


今天这个问题,同样可以通过代码进行模拟:


单次掷硬币,正反面的概率各是50%,这个是没有疑问的。那我们只要根据这个概率持续地产生硬币结果序列,再判断最近三次硬币结果是否触发胜负条件即可。然后,重复这个过程足够多的次数,统计双方胜负的总数,就能得到两人胜负概率的参考值。


下面放下代码,如果你想自己尝试编写,先不急着看:



import random
p1 = 0p2 = 0for i in range(100000): last3 = [] while True: x = random.choice([0, 1]) last3.append(x) if len(last3) > 3: last3.pop(0) if last3 == [1, 0, 0]: p1 += 1 break elif last3 == [0, 0, 1]: p2 += 1 break
print('甲(正反反)', p1)print('乙(反反正)', p2)

行后的结果:

甲(正反反) 74820乙(反反正) 25181


每次结果不会一样,但大致比例不变,基本上甲赢的概率是乙的3倍


可能有人还是不太信。那我们再从数学的角度来尝试解释一下:


因为甲的后两位和乙的前两位是一样的,所以,对于进行中的序列,一旦出现“正”,乙就没有机会了。比如:

反正反正……

这样一个序列,如果出现乙胜的情况,必须先连出至少两个“反”,但这样就必定会形成“正反反”而导致甲胜。


所以甲胜的可能性比较复杂,但乙胜的情况只可能是从一开始就一直是“反”,包括:

反反正反反反正反反反反正反反反反反正……

这个概率还是相对好计算的:

(1/2)**3 + (1/2)**4 + (1/2)**5 + (1/2)**6 + ...

(**是python中的指数运算)


这是一个收敛的几何级数,也就是等比数列,可以通过公式求和:

a1/(1-r) = (1/8)/(1-1/2) = 1/4


所以乙胜的概率就是 25%


这个游戏其实有点来头,它原名叫做 Penney’s game,于 1969 被提出,在不少数学书籍和编程算法题中被引用。


有人会问我,怎么能持续提高编程能力。其实,像这种“不起眼”的数学题,就是一种提高编程能力的很好方法。如果你也能没事拿起python,去算一算身边的概率,久而久之,你在处理更复杂问题时自然也会得心应手。


顺便说下,概率和分布在我们的周围普遍存在。比如我们文中的投票,如果你留心观察就会发现,在只有100个人投票和1000个人投票时,选项的分布是会很接近的。也就是说,虽然我们每个人都有着独立思维,但作为整体来看,却保持着稳定的分布特征。(比如我们的打卡活动,如果不去改动其他条件,完成率就总是在15%~20%这个范围)


多了解一些概率的知识,你会对这个世界有更准确的认知。





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